2017年10月27日

夾在中間的無限大?

游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。

最近「集合論(Set theory)」有一個大進展,在此和讀者分享。

我就讀中班的兒子已經會從1 數到100,問他6張樸克牌1、2、3、4、5、6 和3 張樸克牌2、4、6 哪一個比較多,他可以毫不猶豫地說前者比較多,6 張當然比3 張多啊!

但是,所有的數學系學生都要經過底下奇妙的第一關:1、2、3、4、5、6、7、8…… 和2、4、6、8……哪一個比較多?兩者都是無限大沒錯,但答案是「一樣多」。但是,明明2、4、6、8……只有1、2、3、4、5、6、7、8……的一半不是嗎?怎麼會一樣多呢?

所謂的一樣多是什麼意思?數學的嚴格語言讓我們可以精確描述,沒有模糊空間, 因此需要集合論。1、2、3、4、5、6 比2、4、6 多,是因為沒辦法把兩邊的東西兩兩相配對而一個不剩,即無法在兩個集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 與B ={2, 4, 6} 的元素間找到一一對應,舉例來說:

1 2 3 4 5 6
| | |
2 4 6

數學的說法是如果可以在兩集合A 與B 之中找到一個能一一對應的函數,則A 的基數(cardinality,姑且將之想為元素個數)就和B 的基數一樣大,我們姑且就稱2 個集合一樣多。

所以用以下的對應法,可以證明自然數N = {1, 2, 3, 4,...}與2N = {2,4, 6, 8,...} 一樣多:

1 2 3 4 5 . . . n . . . .
| | | | | . . . . | . . . .
2 4 6 8 10 . . 2n . . . .

接著就會出現很有趣的習題,例如有理數也跟自然數一樣多,平面上所有坐標是整數的點也跟自然數一樣多。這些集合都有無限多個元素沒錯,但都可以找到方法和自然數一一對應,也就是說可以一個一個編號去數,所以這種無限大叫做「可數的無限大(countable in nity)」,代表的集合就是正整數N。

但是,數學系的學生還要過第二關:介於0~1 之中的所有實數比所有的自然數還多。數學家康托(Georg Cantor)給出非常有名、近乎神乎其技的「對角線證明」,想法如下:......【更多內容請閱讀科學月刊第574期】

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