2018年1月25日

從愛因斯坦方程式到超級電腦黑洞模擬--數値相對論發展歷史

林俊鈺/國研院高速網路與計算中心副研究員,協助推廣產學界的高速計算應用。研究興趣為平行計算與天文物理。

游輝樟/成功大學物理系副教授,專長為數值相對論與計算天文物理。



就在廣義相對論( General Relativity, 1915)及重力波的預測(1916)之後的百年,重力波物理儼然進入另一個階段:在美國的兩座雷射干涉儀重力波天文台(LIGO)於2015年9月首次觀測到雙黑洞碰撞事件;以及2017 年8 月,歐洲Virgo重力波天文台加入觀測網當月,首次觀測到雙中子星碰撞事件。未來偵測到重力波事件的頻率將愈來愈高,並且伴隨著電磁波段、微中子的觀測,將提供天文學更多資訊,開啟以重力波資訊解讀宇宙的新領域。

目前,公里等級的地面重力波干涉儀,被設計來偵測重力波造成的干涉臂微小長度變化。高靈敏度是它的強項,卻也是最大的罩門,會受到各種來自如地震、熱擾動、光壓、量子起伏等……的干擾,造成反射鏡的震動與干涉臂長度變化。因此科學家應用各種精密工藝,測量真正的重力波效應。座落在地表的干涉儀,號稱與太空站一般地平靜穩定。即使如此,未處理過的重力波訊號還是深埋在各種已知或未知雜訊中。因此,若能夠事先知道重力波波形,就能較容易地以所謂的「模板匹配」技術,從原始訊號中辨識出來。

精解愛因斯坦方程式
這需要精確地求解愛因斯坦方程式,了解不同重力波波源所造成的微小時空彎曲,也就是
描述時空局部長度「度規」的變化,並計算相應的干涉臂長度改變時間序列。雙黑洞碰撞,也是主要的重力波來源之一。雖然單一黑洞是相當單純的球對稱物體,在廣義相對論發表的次年就有的精確解:史瓦西黑洞。但擴展到雙黑洞,並計算它們從旋進互繞(inspiral)、碰撞融合(plunge and merge)到鈴震(ringdown)並逐漸靜默成單一黑洞三階段的完整波形,卻也花費了近百年,直到2005 年才有第一個整段的數值波形。除了因為碰撞瞬間難以用理論解析求解外,愛因斯坦方程式的非線性特徵,也讓初始的雙黑洞重力場並非簡單地個別黑洞疊加。除非相距足夠遠,牛頓重力足以合理地近似,但這又會讓後續的數值模擬花費太久時間在互繞旋進階段,這就是數值相對論所遇到的兩難。

長時間的模擬有其觀測上需求。因為,模板匹配其實就是做「已知波形與不同時刻觀測的乘積」的積分(即所謂的卷積),得出最大的相關性。因此模板波形週期愈多,得到的信噪比愈高。

數值上的第一個難題來自於廣義相對論是四維協變的理論,亦即不同四維座標選取都會給出相同的方程式,看不太出「時間演化」的概念。單單將廣義相對論表示成三維空間動力學方程式的想法,即所謂的3+1 空間與時間分解,就花了近半世紀。最後由阿諾威特(Richard Arnowitt )、戴瑟(Stanley Deser)及米斯納(Charles Misner)三位在1962年實現,表達成「ADM公式」。

圖一:旋進互繞、碰撞融合到鈴震三階段的黑洞融合波形,縱軸為震幅,橫軸為時間,紅線(或灰線)為首次重力波事件GW150914 的數值模擬結果,分別對應雙黑洞逐漸靠近的互繞、碰撞、並靜默成單一黑洞的過程。



數學上,它與愛因斯坦方程式完全等價,只是又特地將時間的維度挑出來,還原成物理學家所熟悉「受拘束初值問題」。如此一來,理論上只要指定了合理、滿足拘束條件的初始三維空間與物質(能量)分佈,剩下的就交給大自然(廣義相對論)決定了。

利用ADM 公式, 第一個軸對稱、等質量的雙黑洞迎頭對撞模擬,就在1964 由IBM的哈恩(S. Hahn)及紐約艾德菲大學的林德奎斯特(R.Lindquist)所發表。並在接下來十多年間,一再改進,主要由德州大學奧斯汀分校的德威特(Bryce DeWitt)與他的學生斯馬爾(Larry Smarr)等人所進行。不過,這時對初始雙黑洞時空還不清楚,因此這些早期工作是使用相當簡化的Misner 蟲洞模型,以類似「把手」、聯結空間兩點的蟲洞模型,作為模擬初始資料。這些模擬很快就不穩定發散了,無法繼續觀察融合後的黑洞細節,但估計對撞損失了約0.1%的總質量,變成重力波輻射,遠遠小於後來以圓軌道旋進的雙黑洞碰撞所釋放的能量。

不難想像這個先驅工作的困難度。當時連「黑洞」一詞都還沒出現,那要到1967 年才被惠勒(John Wheeler)正式提出;一些關於黑洞的理論,如霍金與潘洛斯(Roger Penrose)的奇異點理論──證明在相當一般的條件下,夠重的星體塌縮就會形成奇異點與黑洞──也才剛萌芽。另一方面,在60年代末期,IBM 的通用型主機才逐漸開始普及,計算力僅約1 MFLOPS,合106 FLOPS(floating-point operations per second ,每秒雙精度浮點運算次數,且記憶體僅有1 MB)的數量級。在近期能買到的Intel i7 桌上型CPU,其計算力約為數十個GFLOPS 數量級。.....【更多內容請閱讀科學月刊第578期】

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