2017年8月25日

我不是藝術家,我看高第

朱慶琪/中央大學物理系副教授、科學教育中心主任,致力於物理演示、科學教育及科普推廣,近年來嘗試將科學、藝術、人文結合,讓科學傳播與推廣有另類的樣貌。


圖一:懸鍊拱的立體模型。(Flickr: Chris Palmer, https://flic.kr/p/27gBC8)

安東尼.高第(Antoni Gaudi, 1852~1926)是建築界的異數,他的風格及前衛的工法,為巴塞隆納這座城市留下了7座世界文化遺產。今年在臺北華山1914文創園區展出的「上帝的建築師—高第:誕生165周年大展」,從多個面向深入剖析這位曠世奇才,內容令人驚艷。然而,我卻在2006年去巴塞隆納時才第一次邂逅高第,當時朋友問我:「你會不會去看那個蓋不完的教堂?」我納悶著:「什麼?」他說:「聖家堂(the Sagrada Familia)啊!」我才回神想起這個耳熟能詳的名字,第一次有機會去了解聖家堂的建築師,這次的旅行在心裡留下印記:「我不了解高第,但他的建築令我深深著迷。」

第二次的邂逅則在今年的高第展覽,當主辦單位跟我洽詢有沒有機會在展覽的現場規劃一個科普專區、專門演示高第建築裡的幾何秘密時,我心動了。當初在西班牙播下的種子開始發芽,心裡默默的期待,這是接近高第的另一個機會。因為我真的忘不了第一次踏進聖家堂時,舉頭仰望穹頂眼淚卻隨之滑下的感動;爬上米拉之家(Casa Milà)的屋頂時,那一群令我莞爾的外星人煙囪……。於是,作為一個完全不懂新歌德主義、現代建築主義的普通人,我純粹從自己感興趣的科學與數學出發,在這篇文章裡談談我眼中的高第。

提起高第時,他常被引述的一句話是:「直線屬於人類,曲線屬於上帝。」,他的作品中大量使用各種曲線,這些曲線經過科學的實證,轉換到建築的結構中,實現了藝術與科學的完美結合。有時候我們很難描述為什麼看到這些作品會感動,或許正是因為這些元素早已隱含在我們身處的大自然中,經過高第的轉化,讓我們聽懂了神的語言。

圖二:拋物線(a)、雙曲線(b)、懸鍊線(c)。

懸鏈線與拋物線
讓我們看第一種曲線──懸鏈線(catenary),顧名思義,懸吊一條鏈子(繩子)產生的形狀稱之為懸鏈線。假設這條鏈子的張力處處相等,則可以證明其曲線樣子是拋物線(parabola),可以用y(x)=ax^2+bx+c這樣的二次函數來表示。不過,考慮真實狀況,繩子的張力會因為鏈子自身重量的緣故,在底端為最小、愈高的地方愈大,如此一來,它所形成的形狀就不是拋物線,而是懸鏈線,可以用以下雙曲餘弦函數(hyperbolic cosine)方程式來表示:y(x)=cosh(x)。所以,拋物線與懸鏈線其實是指不一樣的曲線。

然而在解讀高第的建築時,時常看見這兩個名詞的混用(有時以「拋物拱」、「懸鏈拱」來呈現),我猜測原因如下:高第透過兩種主要的方式來設計他的建築物,一種是透過力圖的分析;另一種是利用縮小的模型實證,當他在設計奎爾科隆尼亞小教堂(Colonia Guell)、特瑞莎學院(Colegio Teresiano)等作品時,採用了以下的步驟:先懸吊纜繩任其產生自然的形狀,也就是懸鏈線,然後在相對的位置加上負載,模擬承重時的曲線形狀(圖一),取得了真實的曲線形狀(通常不是完美的拋物線也不是懸鏈線)後,把曲線向上翻轉,就形成了所謂的「拋物拱」或「懸鏈拱」。虎克(Robert Hooke)曾說過:「一條懸著的軟鏈,向上翻轉後的形狀,就成了組成拱的各個小片段。」這句話揭示了懸鏈的概念在建築的重要性。其實,這些線條本身難以用肉眼分辨到底是拋物線(圖二a)、雙曲線(圖二b)還是懸鏈線(圖二c),唯一可以佐證的恐怕是建築師在設計的時候,所闡述的理念以及留下的紀錄,這次的展覽裡有非常漂亮的鋼鎖鏈及鋼索鏈拱模型,可以印證高第當時的構思。其實在高第的年代並沒有功能強大的電腦可以進行複雜的計算,然而他卻用各種模型來呈現他想像的建築物,一次次真實的淬鍊後,在聖家堂這個作品中達到顛峰。

圖三:聖家堂中殿的穹頂。(© photographs/images: Junta Constructora del Temple de la Sagrada Família. All rights reserved.)

雙曲面
雙曲面(hyperboloid),或稱雙曲面體,這樣的曲線在高第的建築裡被廣泛運用,包括奎爾公園馬車轉彎處的拱頂、聖家堂的修道院窗戶與聖家堂的中殿穹頂等。想像扭轉一個圓柱體會產生的曲面形狀,就是雙曲面,它也可以由一條斜直線旋轉中心線得到,而它的截面形狀可以是圓、橢圓或雙曲線等。首先要澄清的是,雙曲面與雙曲函數(hyperbolic functions)不一樣,雙曲面的方程式形式可分為兩種:
單葉雙曲面 (hyperboloid with one sheet):
雙葉雙曲面 (hyperboloid with two sheet):

而雙曲函數則是類似三角函數的數學函數,可以用指數來表示,例如:
 

,兩種截然不同,千萬不要混淆。

回來看聖家堂的穹頂,圖三利用向上拍攝的角度呈現其壯麗輝煌,圖四則呈現光線由圓形的採光窗沿著雙曲面進入教堂的效果,圖片上半部金黃色的部分即為雙曲面。如果再進到細節來看,圖五左為原圖,圖五中則是將圖五左中的雙曲面部分以紫紅色標示出來以便觀察。這一次為搭配高第在臺灣的展覽,中央大學科教中心也設計了一款可以自由旋轉改變曲率的雙曲面教具(圖六),期盼藉由這個精緻的作品,向這位偉大的建築家致敬!

圖四:聖家堂中殿的穹頂雙曲面結構。(© photographs/images: Junta Constructora del Temple de la Sagrada Família. All rights reserved.)

圖五:聖家堂中殿的穹頂結構細節(左),屬於雙曲面的部分以紫紅色填滿來示意(中),屬於雙曲拋物面部分以檸檬黃填滿來示意(右)。(pixabay)

雙曲拋物面

雙曲拋物面乍看下有點像馬鞍,一個邊向下凹、一邊向上凹(想一想品客洋芋片的形狀),其方程式可以表示為:

高第是第一個將這樣的曲面應用在拱頂的建築師,包括奎爾科隆尼亞小教堂、聖家堂的受難立面、聖家堂的中殿穹頂與聖家堂的18座塔樓等,其中聖器室塔樓將12個雙曲拋物面相交結合而成,不但解決了結構的力學問題,也展現了直線型塔樓無法呈現的活潑線條(圖七)。在聖家堂的中殿穹頂,光線自圓形(雙曲面的腰部截面)的洞口撒下,沿著雙曲面的形狀進到室內,而這些雙曲面(圖五中)的單元之間,是靠著雙曲拋物面(圖五右)及平面的巧妙連結,將整個穹頂裝飾得像巨大的森林。......【更多內容請閱讀科學月刊第573期】

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