2017年2月22日

質數的故事

作者/李武炎(曾任教於淡江大學數學系,現為《科學月刊》編輯委員。)

(shutterstock)
 數論(或整數論)是一門古老的學問,數論中有許多問題看似非常淺顯易懂,也非常吸引人,可是證明起來卻非常難,甚至於到現在都還沒有定論。構成數論學門最基本的元素就是質數,很多有趣的數學猜想都伴隨質數或與質數有關,數學家孜孜戮力就是在尋求這些問題的答案。質數是指一個大於1 的正整數,它只有1 與自己兩個正因數,例如2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47 等均是。這些所列的是小於50 的質數,其中2 為偶數,其他都是奇數,有人稱2 是最老的質數,因為還有新的質數不斷地被發現。事實上,2 也是唯一的偶質數,這很容易可以看出來,如果n 為一個大於2 的偶數,則
不是質數。一個非常重要的觀察是上面所列的質數數列似乎還可以繼續下去,事實上質數有無限多個,這一個事實遠在公元前3 世紀時就由歐幾里得(Euclid)加以證明,這個簡潔而漂亮的證明出現在《幾何原本》(Euclid’s Elements)第九冊的第20 個命題。



歐幾里得的證明點子可以用下列的說明來顯示:首先2 是最老的質數(第一個質數),則a=2+1=3 也為質數,將它加入質數的行列得{2,3};然後再計算a=2×3+1=7 也是質數,加入質數的行列得{2,3,7};再計算a=2×3×7+1=43又得一個質數,因此得4 個質數:{2,3,7,43};並利用同樣的技巧計算a=2×3×7×43+1=1807,但1807=13×139 非質數,而13 為質數,將13 加入質數的行列,此時我們得{2,3,7,43,13};再一次計算a=2×3×7×43×13+1=23479,此時23479=53×443,53 為質數,因此質數名冊上出現{2,3,7,43,13,53},但我們不會到此停止,原則上我們會繼續同樣步驟去找出任意個數的質數名冊。

既然已經知道質數有無限多個,我們不禁要問質數的公佈情形,直覺上我們認為合成數(非質數)比質數多很多,但質數佔所有正整數的比例到底是怎樣?如果我們設π(x) 是指小於或等於x 的質數個數。例如π(10)=4,因為小於10 的質數一共有2、3、5、7 四個,同理π(20)=8。

從表一來看,很明顯地,當x 愈來愈大則π(x)/x 愈來愈小,這又引起另一個問題,就是π(x)/x 這個比值減少的速度有多快,事實上,歷史上已有數學家得到這個結果,這就是有名的質數定理:
所以當x 愈來愈大的話,π(x) 會愈接近



,如表二。這裡的lnx 是指以e 為底的對數, 即lnx=logex, 而e 是微積分中的一個常數,它是一個無理數,其值約2.7182818…,lnx 稱為自然對數,是在微積分中很重要的一個函數,尤其在處理人口成長、複利生息以及放射物質的衰變時常常用到。 ......【更多內容請閱讀科學月刊第567期】








1 則留言:

Jwu-Ting Chen 提到...

請允許轉載全文。
若許可,請提供電子檔 jtchen@ntu.edu.tw

Many thanks,
Jwu-Ting Chen