2017年2月22日

質數的故事

作者/李武炎(曾任教於淡江大學數學系,現為《科學月刊》編輯委員。)

(shutterstock)
 數論(或整數論)是一門古老的學問,數論中有許多問題看似非常淺顯易懂,也非常吸引人,可是證明起來卻非常難,甚至於到現在都還沒有定論。構成數論學門最基本的元素就是質數,很多有趣的數學猜想都伴隨質數或與質數有關,數學家孜孜戮力就是在尋求這些問題的答案。質數是指一個大於1 的正整數,它只有1 與自己兩個正因數,例如2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47 等均是。這些所列的是小於50 的質數,其中2 為偶數,其他都是奇數,有人稱2 是最老的質數,因為還有新的質數不斷地被發現。事實上,2 也是唯一的偶質數,這很容易可以看出來,如果n 為一個大於2 的偶數,則
不是質數。一個非常重要的觀察是上面所列的質數數列似乎還可以繼續下去,事實上質數有無限多個,這一個事實遠在公元前3 世紀時就由歐幾里得(Euclid)加以證明,這個簡潔而漂亮的證明出現在《幾何原本》(Euclid’s Elements)第九冊的第20 個命題。



歐幾里得的證明點子可以用下列的說明來顯示:首先2 是最老的質數(第一個質數),則a=2+1=3 也為質數,將它加入質數的行列得{2,3};然後再計算a=2×3+1=7 也是質數,加入質數的行列得{2,3,7};再計算a=2×3×7+1=43又得一個質數,因此得4 個質數:{2,3,7,43};並利用同樣的技巧計算a=2×3×7×43+1=1807,但1807=13×139 非質數,而13 為質數,將13 加入質數的行列,此時我們得{2,3,7,43,13};再一次計算a=2×3×7×43×13+1=23479,此時23479=53×443,53 為質數,因此質數名冊上出現{2,3,7,43,13,53},但我們不會到此停止,原則上我們會繼續同樣步驟去找出任意個數的質數名冊。

既然已經知道質數有無限多個,我們不禁要問質數的公佈情形,直覺上我們認為合成數(非質數)比質數多很多,但質數佔所有正整數的比例到底是怎樣?如果我們設π(x) 是指小於或等於x 的質數個數。例如π(10)=4,因為小於10 的質數一共有2、3、5、7 四個,同理π(20)=8。

從表一來看,很明顯地,當x 愈來愈大則π(x)/x 愈來愈小,這又引起另一個問題,就是π(x)/x 這個比值減少的速度有多快,事實上,歷史上已有數學家得到這個結果,這就是有名的質數定理:
所以當x 愈來愈大的話,π(x) 會愈接近



,如表二。這裡的lnx 是指以e 為底的對數, 即lnx=logex, 而e 是微積分中的一個常數,它是一個無理數,其值約2.7182818…,lnx 稱為自然對數,是在微積分中很重要的一個函數,尤其在處理人口成長、複利生息以及放射物質的衰變時常常用到。 ......【更多內容請閱讀科學月刊第567期】








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Jwu-Ting Chen 提到...

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Many thanks,
Jwu-Ting Chen

xm w 提到...



华罗庚陈景润---解析数论全军覆灭宿命和中国数学家精神孽债
  对于崇拜陈景润人士而言,2016年3月19日是绝非等闲的大日子——20年前这一天,对於20世纪中国数论和世界的影响、对於几代人中国数学家命运具有重大影响的陈景润去世了。

  陈景润是中国数学家的宿命和孽债
  大陆官方为了吹捧陈景润造声势,把陈景润视为中国数学的大师。数学这个话题很大,可以从很多角度来谈。而数论最代表数学的精神。陈景润是中国数学家的宿命和孽债,不仅深刻地影响了中国几代数学家的命运,而且他已经死了多年,阴魂不散,至今还在缠绕着中国数学家,牵制着中国数学未来的走向。恐怕这个过程还短不了。

  我想谈一下陈景润的历史定位。陈景润是那个特殊时代的人物,改变了数论本应该按照严格的、历史原有的进程---遵守逻辑规则前进。
  中国近代数论历史起初是以欧为师的,在华罗庚的影响下,后来才有一个大转变,转到以俄为师。
  把中国数学历史放在一个更宏观的视野下来看——中国的近代数学历史实际上是世界全球化过程的一部分。从这个视野来看的,我认为华罗庚陈景润是中国人在世界数学全球化的过程中民族集体无意识的失落、抵触。一误再误、最后走向错误路的人格化符号,并且影响了整个世界数论走向错误。
  刚才说到中国近代数学历史本来是以欧为师,民国时期大量留学学生都是去向欧美,1949年共产党获得政权以后,回国人员几乎全部都是留学欧美的。为什么最后以苏联为师呢?

  这个转向,当然有很多历史因素,其中包括中国当时面临的民族危亡、苏联人的误导和欺骗……等等,中国知识分子的躁动、浅薄、轻信和狂热,起了很大的作用。而一旦走入歧途,就很难改变了。
  中国共产党政权选择了亲苏一边倒政策,也导致了中国数学一边倒的政策。所以,在毛选择“走俄国人的路”,开创了这么一个时代之后,中国数学直到现在,还在这个泥潭里面痛苦地挣扎,不能自拔。
  那么,如何来评价华罗庚陈景润的时代呢?可以说,共产党列宁式的集权主义、中国皇权专制传统、中国底层流氓文化——这三者的集大成者,由此开创了自己的时代。就会影响到整个中国科学,这是一个什么样的时代?
  在政治上,那是一个贫穷和饥饿、恐怖和血腥的年代,毛是现代中国一切灾难的始作俑者。毛发动“大跃进”闯下大祸后,唯恐身后被“党内赫鲁晓夫式的人物”清算,不惜把整个国家民族推入“文革”十年浩劫之中。中国知识分子遭到了灭顶之灾。
  中共领导人受俄国人的影响很深,他们信奉的是列宁式极权主义思潮和铁腕手段,在科学上也是一样,他们搞科学方式都是大兵团运作,轰轰烈烈,不能有失败,不能有批评。从毛泽东到华罗庚有很多个性的东西在科学里面。毛泽东的个性依然在科学领导人的个性里面,就是绝对不能有反对声音。你可以用许多词来形容毛泽东和现在科学领导人的为人:暴虐、专制、独裁、多疑、冷酷、虚伪、好大喜功、嗜权如命、翻云覆雨……,而且每一个词都可以找到许多史实来加以证明。
  科学院其实就是领导人的祠堂。
  毛泽东那时候已经到了苏区,当了中央红军的第一把手,他的弟弟毛泽覃,也是相当于师一级的指挥员了,有一次他们兄弟俩争论起来,毛泽东说不过弟弟了,举手就要打他,毛泽覃说:“共产党不是毛家祠堂!”这句话不幸而言中:共产党从延安整风以后,一步一步朝这个方向发展,到中共1949年建政,整个中国就成了“毛家祠堂”。而这种做法,又被邓小平继承下来,确立所谓“一个核心”的体制。到现在还是这种情况。在中国科学领域,每一个学科分支,都有一个祠堂和一个族长。

  华罗庚这个人虽然是中国数学的枭雄,开创了自己的时代,但又是一个悲剧性的人物。他的悲剧在哪儿呢?他自认为可以指点江山,自认为可以改变历史,编造了解析数论的辉煌,这个中国数学史上无前例的、人类历史上都没有的造神运动,但最后却被历史和数学规则所捉弄,输了个精光,是个失败的历史人物。他一死,他那套“解析数论”,马上就灰飞烟灭,华罗庚和陈景润最后被数学和历史所抛弃,因为他那套做法是反科学的,反文明的。
  
华罗庚和陈景润是中国数学的宿命和孽债。他虽然在数学上输个精光,但在中国的制度环境下,仍然有很大的影响,他的幽灵至今还在中国四处游荡。他们的学生,许许多多都是大学的校长和中国科学院的领导,学生的学生都是大学里面的系主任。华罗庚和陈景润的错误思想和研究体制仍是支橕中国数学的基石。今天和今后的数学系学生依然要被梦魇所缠绕,十年、20年、30年看不到头。华罗庚和陈景润在社会上的影响将长期存在,陶哲轩张益唐的错误和造假事件就是一个明证。这一点不可低估。
  华罗庚和陈景润的遗产和中国数学会不会转型?这个问题,中国当前正在大变的前夜,处于历史的十字路口。一党专政体制,是维护权贵集团利益最大的保护伞。也是维护学术错误的保护伞。


阅读详情: http://www.backchina.com/forum/20161018/info-1420708-1-1.html#ixzz4dIkVdXtI

xm w 提到...

为什么说以往100年哥德巴赫猜想的证明都是错误的

自从:
1920年,挪威的布朗宣称证明了“9 + 9”。
  1924年,德国的拉特马赫宣称证明了“7 + 7”。 
  1932年,英国的埃斯特曼宣称证明了“6 + 6”。 
  1937年,意大利的蕾西先后宣称证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 
  1938年,苏联的布赫夕太勃宣称证明了“5 + 5”。 
  1940年,苏联的布赫夕太勃宣称证明了“4 + 4”。 
  1956年,中国的王元证明宣称了“3 + 4”。稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 
  1948年,匈牙利的瑞尼宣称证明了“1+ c”,其中c是一很大的自然数。 
  1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩宣称证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”。 
  1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利宣称证明了“1 + 3 ”。 
  1966年,中国的陈景润宣称证明了 “1 + 2 ”。

他们的“证明”都是错误的:把假定当成真实,引入了“假定存在”的非逻辑前提,犯了预期理由的逻辑错误。
設a,b,c是所謂“殆素數”,即n個素數的乘積:

1,是否【1+1】包含在【a+b】或者【1+c】之內?
如果回答:是!
2,證明程式是否可以從【a+b】或者【1+c】到達【1+1】?
如果回答:是!
3, 【1+1】是否可以必然從【a+b】或者【1+c】中剝離出來?
如果回答:是!
4, 如果最後證明了【1+1】不能成立,前面三條回答就是錯誤的。
分析一,就是說,前面三條是在假定【1+1】必須正確的情況下的“成果”,這個就荒唐了,我們還不知道最後是否正確,就假定了最後成果必然正確。这个就是预期理由的逻辑错误。是非法引入了假定存在的非逻辑前提。
分析二,如果前面三條不能成立或者不能肯定必然成立,怎麼可以算是“成果”呢?